指数随伴系 (直積をもつ圏)

直積をもつ圏$ C において

対象$ a を固定して

任意の$ z について指数対象 (直積をもつ圏)$ z^a が存在するとき

(右)指数随伴系と呼ばれる随伴系を構成できる:

$ \Sigma[a]=\left( \_×a \dashv \_^a \colon C→C,\mathrm{unit}^a ,\mathrm{eval}^a \right)

ここで、右随伴は指数函手$ \_^a

$ \mathrm{unit}^a_z\colon z→(z×a)^a

$ \mathrm{eval}^a_z\colon z^a×a→z

指数随伴系における自然同型、転置、反転置

$ \Lambda^a \colon \hom_C(\_×a,\_) \Rightarrow \hom_C(\_,\_^a)

$ \colon C^\mathrm{op}× C \to \mathbf{Set}

$ \_^\cap \coloneqq (x,y).\Lambda^a

$ \colon \hom_C(x×a,y) → \hom_C(x,y^a)

$ \__{\cup} \coloneqq (x,y).(\Lambda^a )^{-1} =(\_^{\cap})^{-1}

$ \colon \hom_C(x,y^a) → \hom_C(x×a,y)